Dipartimento di Ingegneria Civile, dell'Energia, dell'Ambiente e dei Materiali - Università Mediterranea di Reggio Calabria - Didattica

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Modulo: METODI MATEMATICI

Corso

Ingegneria Civile

Curriculum

PROGETTAZIONE DI INFRASTRUTTURE E SISTEMI DI TRASPORTO

Orientamento

Orientamento unico

Anno Accademico

2018/2019

Crediti

Settore Scientifico Disciplinare

MAT/05

Anno

Primo anno

Unità temporale

Secondo semestre

Ore aula

Attività formativa

Attività formative affini ed integrative

Canale unico

Docente

PASQUALE CANDITO

Obiettivi

Il corso si propone di presentare allo Studente i metodi variazionali elementari per lo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali, strettamente legati alle tecniche di approssimazione numerica e utili per risolvere quantitativamente problemi di interesse ingegneristico, quali ad esempio, il metodo di Galerkin-elementi finiti per problemi di tipo ellittico.
L'obiettivo generale del corso è quello di introdurre tali tematiche partendo da semplici problemi derivanti dalle scienze applicate e seguendo un medesimo schema ricorrente: analisi matematica del problema, approssimazione numerica, analisi dei risultati.

Programma

Premesse al corso
Introduzione ai metodi variazionali per lo studio delle equazioni differenziali: motivazioni, esempi. Necessità della risoluzione numerica.

Elementi di Analisi Funzionale (I-IICFU)
Spazi metrici e spazi normati. Concetti fondamentali. Lo spazio normato : disuguaglianze di Young, Hölder, Cauchy-Schwarz e Minkowski. Successioni in uno spazio metrico. Funzioni continue e semicontinue. Spazi metrici compatti. Teorema di Weierstrass. Spazi metrici completi. Spazi di Banach. Spazi funzionali: principali esempi.
Spazi di Hilbert. Regola del parallelogramma. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
Cenni alla teoria della misura e dell’integrazione secondo Lebesgue.
Cenni sulla teoria delle distribuzioni. Notazioni e definizioni. Esempi fondamentali. Derivata di una distribuzione. Spazi di Sobolev. Disuguaglianza di Poincaré. Disuguaglianze di traccia. Teoremi di immersione per gli spazi di Sobolev.
Compattezza e convergenza debole (in spazi di Hilbert).
Formulazione variazionale di problemi non lineari (III-IV- VCFU)
Equazioni ellittiche. Soluzioni classiche, forti e deboli (o variazionali). Formulazione variazionale di un problema di diffusione, trasporto e reazione nel caso unidimensionale con condizioni al bordo di Dirichlet, di Neumann, miste e di Robin. Formulazione variazionale del problema di Poisson. Condizioni di Dirichlet omogenee e non omogenee. Problema di Neumann. Problemi misto e di Robin. Equazioni generali in forma di divergenza.
Ulteriori Elementi di Analisi Funzionale (VI CFU)
Operatori lineari. Spazi duali. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Forme bilineari, problemi variazionali astratti. Teorema di Lax-Milgram. Forme bilineari simmetriche.
Approssimazione e metodo di Galerkin: esistenza, unicità e stabilità della soluzione discreta, convergenza. Lemma di Céa.

Seminari dedicati al tema "Matematica e realtà"

Testi docente

Resources and main references
L. C. Evans, Partial Differential Equations, A.M.S., Graduate Studies in Mathematics, 1998.
H. Brezis, Analisi Funczionale. Teoria e applicazioni, Liguori Editore 2002.
D. Costa, An Invitation to Variational Methods in Differential Equations, Birkhäuser 2007
A. Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali. Springer, 2008.
V. Romano, Metodi matematici per i corsi di ingegneria, Città Studi Edizioni (2018)
L. Formaggia, F. Saleri, A. Veneziani, Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali. Springer Verlag (collana Unitext), 2005.
M. Codegone, Metodi Matematici per l’Ingegneria, Zanichelli, 1995. (Distributions)
G. Israel, La visione matematica della realtà, Editori Laterza (2003)

Erogazione tradizionale

Sì

Erogazione a distanza

Frequenza obbligatoria

Valutazione prova scritta

Valutazione prova orale

Sì

Valutazione test attitudinale

Valutazione progetto

Valutazione tirocinio

Valutazione in itinere

Prova pratica