GEOMETRIA E ALGEBRA

Spazi vettoriali (1CFU)

Definizione di campo k ed esempi di insiemi numerici. Definizione di k-spazio vettoriale. Esempi. Sottospazi. Operazioni con i sottospazi: somma, intersezione, unione e somma diretta. Intersezione di due sottospazi(con dimostrazione). Criterio per la somma diretta di due sottospazi. Combinazione lineare di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale. Vettori linearmente indipendenti. Criterio per la lineare indipendenza dei vettori. Spazi vettoriali di dimensione finita. Generatori e basi di uno spazio vettoriale. Metodo del completamento e metodo degli scarti per la determinazione di una base. Basi canoniche. Componenti di un vettore e cambiamenti di base. Teorema sulla dimensione di un sottospazio. Formula di Grassmann.

Sistemi lineari e matrici (1CFU)

Sistemi di equazioni lineari. Sistemi lineari omogenei. Matrici. Matrici diagonali, simmetriche e antisimmetriche. Matrice trasposta. Matrici triangolari. Matrice ridotta per righe. Riduzione per righe e per colonna di una matrice. Sistemi lineari equivalenti. Sistemi lineari ridotti. Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari. Metodo di Gauss-Jordan. Prodotto di matrici. Matrici invertibili. Rango di una matrice. Teorema di Rouchè-Capelli(con dimostrazione). Determinante di una matrice. Regola di Sarrus. Teoremi di Laplace. Calcolo dei determinanti e proprietà. Determinanti e matrici invertibili. Matrice aggiunta. Inversa di una matrice con il metodo della matrice aggiunta. Regola di Cramer. Minore di una matrice. Teorema di Kronecher. Sistemi lineari parametrici.

Applicazioni lineari e Spazi vettoriali euclidei (1CFU)

Definizione ed esempi di applicazione lineare. Nucleo ed Immagine di un'applicazione lineare. Applicazioni lineari e matrici. Applicazioni lineari iniettive, suriettive e biunivoche. Isomorfismi. Criterio di iniettività (con dimostrazione). Teorema sui generatori dell'immagine di un'applicazione lineare. Teorema della dimensione. Composizione tra due applicazioni lineari e matrice associata. Traccia di una matrice. Matrici simili. Autovalori e autovettori. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi semplici e terorema sull’endomorfismo semplice. Teorema sulla dimensione degli autospazi. T Matrici ortogonali. Basi ortogonali. Matrici ortogonali.

Geometria del piano cartesiano (2CFU)

Sistemi di riferimento. Coordinate cartesiane e polari nel piano.

Rette del piano cartesiano. Equazione cartesiana: implicita ed esplicita. Forma parametriche. Coefficiente angolare e parametri direttori. Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e viceversa. Retta per due punti, retta per un punto e parallela (oppure perpendicolare) ad una data retta. Intersezioni. Condizioni di parallelismo e ortogonalità. Fasci di rette. Trasformazioni del piano cartesiano: Traslazioni, rotazioni e rototraslazioni. Circonferenza. Coniche. Forme canoniche. Classificazione affine delle coniche. Fasci di coniche.

Geometria dello spazio cartesiano (2CFU)

Sistemi di riferimento. Coordinate cartesiane e polari nello spazio. Punti, rette e piani dello spazio cartesiano. Parametri direttori di una retta nello spazio.. Equazioni cartesiane e parametriche di una retta. Retta per due punti, retta per un punto e parallela ad una retta, retta per un punto e perpendicolare ad un piano. Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e viceversa. Piano per tre punti non allineati. Piano per un punto e parallelo ad un piano dato, proiezione ortogonale di una retta su un piano. Distanza punto-piano. Intersezioni. Mutue posizioni di rette e piani nello spazio. Condizioni di parallelismo e ortogonalità. Fasci di piani. Trasformazioni dello spazio cartesiano: traslazione, rotazione e rototraslazione. Cenni sulle quadriche.

Esercitazioni sulla parte teorica svolta durante il corso (2cfu)

Ultimo aggiornamento: 01-10-2024

1.A. Bernardi, A.Gimigliano, ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ANALITICA, CittàStudi Edizioni

2.Esercizi: Risorse web online di Bernardi, A. Gimigliano, ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ANALITICA, Città Studi Edizioni

Ultimo aggiornamento: 01-10-2024

Conoscenza delle nozioni di base dell'algebra lineare (matrici, determinanti, sistemi di equazioni lineari, spazi vettoriali, applicazioni lineari, autovalori ed autovettori, diagonalizzazione di una matrice, prodotti scalari) e della geometria analitica in dimensione due e tre (equazioni di rette e piani e studio analitico delle loro mutue posizioni; equazioni e studio di curve e superfici, con particolare riferimento a coniche e quadriche). Conoscenza degli strumenti e delle tecniche proprie dell’Algebra Lineare per lo studio della Geometria Analitica. Capacità di comprendere e utilizzare strumenti matematici adeguati per la risoluzione di problemi geometrici del piano e dello spazio. Capacità di comunicare le conoscenze acquisite attraverso un linguaggio tecnico-scientifico adeguato.

Ultimo aggiornamento: 01-10-2024

Conoscenza delle nozioni di base della matematica: equazioni algebriche di primo, secondo e terzo grado, regola di Ruffini, scomposizione di polinomi, disequazioni algebriche, geometria analitica del piano: punto, retta, ellisse, parabola e iperbole.

Ultimo aggiornamento: 01-10-2024

Lezione con utilizzo di lavagna digitale, svolgimento di esercizi alla lavagna, proiezione di slides collegate al libro di riferimento. Utilizzo della piattaforma teams per fornire agli studenti materiale didattico e le slides delle lezioni svolte.

Svolgimento di esercizi proposti dagli studenti.

Ultimo aggiornamento: 01-10-2024

Ricevimento sia in studio che in aula. Possibilità anche di supporto per lo svolgimento di esercizi o eventuali spiegazioni anche tramite email o collegamento online.

Ultimo aggiornamento: 01-10-2024

La prova d'esame consiste in una verifica scritta finale ed in una prova orale alla quale si accede se nella verifica scritta finale si è conseguito almeno un punteggio minimo predeterminato. Il superamento di eventuali prove scritte in itinere esonera lo Studente dalla verifica scritta finale o da parte di essa.

Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l'esame orale solo nell'appello nel quale è stato superato l'esame scritto o negli appelli della medesima sessione.

I possibili argomenti su cui verterà l'esame scritto sono:

1. Risoluzione di sistemi lineari (4 pt)

2. Operazioni tra matrici, calcolo della matrice inversa, matrici simili (2 pt)

3.Applicazioni Lineari (iniettività, suriettvità, immagine e nucleo, diagonalizzazione, cambio di base) (10 pt)

4. Classificazione delle coniche o delle quadriche (2pt)

5. Equazione della retta nel piano e nello spazio (2 pt)

6. Equazione di un piano e condizione di ortogonalità, parallelismo e intersezione tra retta e piano (5 pt)

7.Spazi euclidei, basi ortonormali, procedimento di ortonormalizzazione (5pt)

Nella prova scritta si valutano le capacità critiche raggiunte dallo Studente nell'inquadrare le tematiche oggetto del Corso ed il rigore metodologico delle risoluzioni proposte in risposta ai quesiti formulati. Tale prova ha la durata massima di due ore. La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti della prova scritta e sugli argomenti teorici che fanno parte del programma del corso. Si valuta la capacità dello studente di comunicare le nozioni acquisite attraverso un linguaggio scientifico adeguato e la capacità di esposizione.

Il voto finale sarà attribuito secondo il seguente criterio di valutazione:

30 - 30 e lode: ottima conoscenza degli argomenti, ottima proprietà di linguaggio, completa ed originale capacità interpretativa, spiccata capacità di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;

26 - 29: conoscenza completa degli argomenti, buona proprietà di linguaggio, completa ed efficace capacità interpretativa, in grado di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;

24 - 25: conoscenza degli argomenti con un buon grado di apprendimento, discreta proprietà di linguaggio, corretta e sicura capacità interpretativa, capacità di applicare in modo corretto la maggior parte delle conoscenze per risolvere i problemi proposti;

21 - 23: conoscenza adeguata degli argomenti, ma mancata padronanza degli stessi, soddisfacente proprietà di linguaggio, corretta capacità interpretativa, limitata capacità di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;

18 - 20: conoscenza di base degli argomenti principali e del linguaggio tecnico, capacità interpretativa sufficiente, capacità di applicare le conoscenze acquisite;

Insufficiente: non possiede una conoscenza accettabile degli argomenti trattati durante il corso.

Ultimo aggiornamento: 01-10-2024

etata

Eliminare le disparità di genere nell'istruzione e assicurarsi che tutti gli studenti, compresi i più vulnerabili quali le persone con disabilità, acquisiscano le conoscenze e le competenze necessarie, fornire ambienti di apprendimento sicuri, non violenti, inclusivi ed efficaci per tutti

Ultimo aggiornamento: 01-10-2024