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ANALISI MATEMATICA I e ANALISI MATEMATICA II

Corso Ingegneria Industriale
Curriculum INGEGNERIA GESTIONALE
Orientamento Orientamento unico
Anno Accademico 2021/2022

Modulo: ANALISI MATEMATICA I

Corso Ingegneria Industriale
Curriculum INGEGNERIA GESTIONALE
Orientamento Orientamento unico
Anno Accademico 2021/2022
Crediti 9
Settore Scientifico Disciplinare MAT/05
Anno Primo anno
Unità temporale Primo semestre
Ore aula 72
Attività formativa Attività formative di base

Canale unico

Docente PASQUALE CANDITO
Obiettivi Il corso si propone di fornire allo Studente i concetti fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di una variabile reale.
A tal fine, le definizioni e i principali risultati dell’analisi matematica di base, relativi ai concetti di limite, derivata ed integrale, verranno introdotti a partire dalle funzioni elementari per passare poi ad approfondimenti mirati che permetteranno lo studio di problematiche anche più complesse derivanti dalle scienze applicate.
L'obiettivo generale del corso è quello di facilitare l'Allievo nell'acquisizione di un appropriato livello di autonomia nella conoscenza teorica e nell’utilizzo degli strumenti analitici di base, di stimolare la sua capacità di riflessione, di calcolo e di comunicare le nozioni acquisite attraverso un linguaggio scientifico adeguato.


Modalità di valutazione
L'esame di Analisi Matematica I consiste in un esame scritto e uno orale, entrambi obbligatori. Lo studente ha diritto a partecipare all'esame orale se supera la prova scritta ottenendo un punteggio di almeno 18/30. Nel caso contrario e se il punteggio conseguito non è inferiore a 14/30, sarà discrezione del docente decidere se lo studente dovrà ripetere o meno l'esame scritto. Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l'esame orale solo nell'appello nel quale è stato superato l'esame scritto o negli appelli della medesima sessione.

I possibili argomenti su cui verterà l'esame scritto sono:
1. Calcolo di limiti e loro significato geometrico. Studio della continuità di una funzione che dipende da uno o più parametri (5 punti)
2. Studio della convergenza di una serie numerica con parametro (4 punti)
3. Calcolo di derivate e loro applicazioni (4 punti)
4. Calcolo dell'area di una regione piana utilizzando il calcolo integrale (5 punti)
5. Studio di una funzione definita a tratti (12 punti)

Nella prova scritta si valutano le capacità critiche raggiunte dallo Studente nell'inquadrare le tematiche oggetto del Corso ed il rigore metodologico delle risoluzioni proposte in risposta ai quesiti formulati. Tale prova ha la durata massima di due ore e lo Studente può fare uso di libri e manuali oltre che della calcolatrice non programmabile.
La prova orale inizia con una discussione di semplici esercizi inerenti gli argomenti e le definizioni di base trattati nella prova scritta per poi passare alle tematiche di natura più teorica richiamate nel programma del corso e si valuta la capacità dello studente di comunicare le nozioni acquisite attraverso un linguaggio scientifico adeguato, nonché la capacità di esposizione dei contenuti teorici che stanno alla base delle varie tipologie di esercizi presenti nella prova scritta.
Il voto della prova orale sarà attribuito secondo il seguente criterio di valutazione:
30 - 30 e lode: conoscenza completa, approfondita e critica degli argomenti, ottima proprietà di linguaggio, completa ed originale capacità interpretativa, piena capacità di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
26 - 29: conoscenza completa e approfondita degli argomenti, piena proprietà di linguaggio, completa ed efficace capacità interpretativa, in grado di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
24 - 25: conoscenza degli argomenti con un buon grado di apprendimento, buona proprietà di linguaggio, corretta e sicura capacità interpretativa, capacità di applicare in modo corretto la maggior parte delle conoscenze per risolvere i problemi proposti;
21 - 23: conoscenza degli argomenti, ma mancata padronanza degli stessi, soddisfacente proprietà di linguaggio, corretta capacità interpretativa, limitata capacità di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
18 - 20: conoscenza di base degli argomenti principali, conoscenza di base del linguaggio tecnico, capacità interpretativa sufficiente, capacità di applicare le conoscenze basilari acquisite in contesti elementari;
Insufficiente: non possiede una conoscenza accettabile degli argomenti trattati durante il corso.

Il voto finale dell'esame del modulo di Analisi Matematica I è uguale a quello conseguito nella prova orale nel caso in cui il voto della prova orale è maggiore di quello ottenuto nella prova scritta, nel caso contrario è dato dalla media aritmetica tra i due voti conseguiti.

English version

The aim of the course is to introduce the Students to the basic concepts of differential and integral calculus for real functions of a real variable.To this end, the definitions and the main results of the Mathematical Analysis, concerning the concepts of limit, derivative and integral, will be presented first in the elementary functions setting and next, by using some selected insights, also inside some most complex problems arising from applied sciences.
The main aim of the course is to facilitate the student in acquiring an appropriate level of autonomy in the theoretical knowledge and on the applications of basic analytical tools, to stimulate his capacity for reflection, computing and to communicate in an appropriate scientific language the notions learned.

The examination of Mathematical Analysis consists of a written test and an oral exam, both mandatory. The student is entitled to attend the oral examination if he exceeds the written test with a score of at least 18/30. If not, and always if the score is not less than 14/30, it will be the teacher's discretion to decide whether or not the student will have to repeat the written exam. Passed the written test, the student is entitled to participate to the oral examination only in the same session in which he passed the written examination.
Some possible arguments for the written exam can include:
1. Study of the continuity of a function depending on one or more parameters (5 points)
2. Study of the convergence of numerical series with parameters (4 points)
3. Calculation of derivatives and their applications (4 points)
4. Calculation of the area of a flat region by using the integral calculus (5 points)
5. Study of a piecewise defined function (12 points)
The written test evaluates the critical skills achieved by the students in the arguments treated during the course and the methodological rigor of the resolutions proposed in response to the questions. This test has a maximum duration of two hours and the students can make use of books and manuals as well as of non-programmable calculator.
The oral exam starts with an interview regarding both on elementary exercises and the basic definitions treated in written test. It continues with a discussion on theoretical aspects on the topics listed on the course programm.

The oral exam grade will be assigned according to the following evaluation criteria:
30 - 30 cum laude – exceptional: complete, in-depth and critical knowledge of the topics, excellent linguistic property, complete and original interpretative ability, full ability to independently apply the knowledge to solve the proposed problems;
26 – 29 - very good to satisfactory: complete and in-depth knowledge of the topics, full ownership of language, complete and effective interpretive ability, able to independently apply the knowledge to solve the proposed problem;
24 – 25 – good to adequate: knowledge of topics with a good degree of learning, good language property, correct and safe interpretive ability, ability to correctly apply most of the knowledge to solve the proposed problems;
21 – 23 - poor: knowledge of the topics, but lack of mastery of the same, satisfactory property of language, correct interpretative ability, limited ability to independently apply the knowledge to solve the proposed problems;
18 – 20 - barely adequate to minimum passing grade: basic knowledge of the main topics, basic knowledge of technical language, sufficient interpretive ability, ability to apply the basic knowledge acquired in elementary contexts;
Insufficient - rejected: the student does not have an acceptable knowledge of the topics covered during the course.

The final mark of the exam is the same as that obtained in the oral test in the event that the mark of the oral test is greater than that obtained in the written test, otherwise it is given by the arithmetic average between the two marks achieved.
Programma I. Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici. Estremi di un insieme numerico. Generalità sulle funzioni. Funzioni numeriche. Proprietà elementari delle funzioni. Grafico di una funzione. Operazioni sulle funzioni e trasformazione dei grafici. Funzioni elementari.

II-III. Definizione generale di limite per una funzione reale di variabile reale. Teoremi di unicità del limite, del confronto e della permanenza del segno. Teorema sui limiti di funzioni monotone. Operazioni sui limiti e forme indeterminate. Limiti notevoli. Asintoti. Infiniti e infinitesimi e loro confronto. Principio di sostituzione degli infinitesimi e degli infiniti.
Successioni numeriche. Limite di una successione. Teoremi di unicità del limite, della permanenza del segno e del confronto. Teorema ponte e non esistenza dei limiti. Calcolo dei limiti. Teorema di esistenza del limite per una successione monotona. Serie numeriche. Esempi fondamentali: la serie geometrica, di Mengoli, armonica e armonica generalizzata. Condizione necessaria per la convergenza di una seria. Serie a termini di segno costante. Criterio del confronto, della radice e del rapporto. Serie assolutamente convergenti. Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz.

IV. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Continuità delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Radici di un'equazione: metodi grafici per la ricerca. Funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato. Teorema di Weierstrass.

V-VI. Definizione di derivata e suo significato geometrico e cinematico. Retta tangente al grafico. Derivate delle funzioni elementari e regole di derivazione. Derivabilità e continuità. Massimi e minimi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange e loro interpretazione geometrica. Monotonia e derivabilità. Funzioni a derivata nulla. Punti singolari, angolosi, a tangente verticale e cuspidi. Differenziale e approssimazione lineare. Derivate successive. Teoremi di de l'Hôpital. Formula di Taylor e di McLaurin. Espressioni del resto. Approssimazione di funzioni mediante polinomi. Funzioni convesse e concave. Punti di flesso. Proprietà fondamentali. Studio del grafico di una funzione.

VII-VIII-IX. L'integrale di Riemann per funzioni di una variabile. Interpretazione geometrica. Proprietà dell'integrale definito. Teorema della media. Integrale indefinito e sue proprietà. Funzioni integrali. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi elementari per la ricerca di una primitiva: integrazione immediata, per scomposizione in somma e per sostituzione. Integrazione per parti. Ricerca di primitive per alcune classi di funzioni: razionali, trigonometriche e irrazionali. Integrali impropri. Domini illimitati. Integranda non limitata. Esempi fondamentali. Teorema del confronto. Criterio del confronto asintotico.

English version

Sets and operations on them. Sets of numbers. Upper and Lower Bounds. Completeness. The concept of a function. Real functions and basic properties. The graph of a function. Operations on functions and elementary operations on the graphs. Elementary functions.

Limit of a real function and basic properties. Theorems on limits: uniqueness and sign of the limit. Comparison theorems. Limits of monotone functions. Algebra of limits and indeterminate forms. Fundamentals limits. Asymptotes. Infinitesimal and infinite functions. Limit of a sequence. Uniqueness and sign of the limit. Relationship between limit of a function and limit of sequences. Fundamentals limits. Existence of the limit of a monotone
sequence. Numerical series. Basic examples: geometric series, Mengoli’s series, generalized armonic series. The necessary condition for the convergence. Positive-term series. Comparison test. Asymptotic comparison test. Ratio test. Root test. Absolute convergence. Convergence of alternating series. Leibniz’s Criterion.

Continuous functions. Points of discountinuity. Properties of the continuous functions. Global properties of continuous functions: Intermediate value theorem. Zeros of a function. Roots of a numerical equation. Weierstrass Theorem.

Derivative of a function of one real variable and its geometric and kinematic meaning. Tangents. Derivatives of elementary functions and basic rules of derivation. Derivability and continuity. Extrema and critical points. Fermat’s Lemma, Rolle’s Theorem. The theorems of Cauchy and Lagrange and their geometrical meaning. Monotony and derivability. Functions with zero derivative. Non-differentiable functions: cups and points of vertical tangency. Differential and linear approximations. Higher-order derivatives. L’Hôpital rule. Taylor and Mc-Laurin formulas. Approximation of functions by polynomials. Convex and concave functions. Inflection points. Basic properties of Lipschiz functions. Qualitative study of a function.

Definition of Reimann integral. Geometric meaning. Properties of definite integrals. Integral mean value. Indefinite integral and its properties. Anti-derivatives. The Fundamental Theorem of integral calculus. Rules of indefinite integration. Integrating rational maps. Integration by part. Table of primitives. Improper integrals. Unbounded domains of integrations. Unbounded integrands. Basic examples. Comparison theorems. Asymptotic comparison test.
Testi docente Testi di riferimento

M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill, Milano 2011.
Claudio Canuto, Anita Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson 2021.
Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis I, Springer 2008.
J. Stewart, Calcolo Funzioni di una variabile, Maggioli Editore.
G. Anichini, G. Conti, M. Spadini, Analisi Matematica 1, Pearson 2020.
Erogazione tradizionale
Erogazione a distanza No
Frequenza obbligatoria No
Valutazione prova scritta No
Valutazione prova orale No
Valutazione test attitudinale No
Valutazione progetto No
Valutazione tirocinio No
Valutazione in itinere
Prova pratica No

Ulteriori informazioni

Nessun materiale didattico inserito per questo insegnamento

Elenco dei rievimenti:

Descrizione Avviso
Ricevimenti di: Pasquale Candito
Il ricevimento del Prof. Candito, per il I semestre dell`anno accademico 21/22, si terrà il Lunedì alle ore 12:00 e Mercoledì ore 17:00, previa prenotazione da effettuare inviando un messaggio all'indirizzo di posta elettronica pasquale.candito@unirc.it.
Dietro richiesta da parte dello Studente il ricevimento si potrà svolgere anche in modalità telematica attraverso la piattaforma Microsoft Teams iscrivendosi al team L-9 21/22 Analisi Matematica I
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