Dipartimento di Ingegneria Civile, dell'Energia, dell'Ambiente e dei Materiali - Università Mediterranea di Reggio Calabria - Didattica

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Modulo: ANALISI MATEMATICA II

Corso

Ingegneria Civile e Ambientale per lo sviluppo sostenibile

Curriculum

TUTELA DELL'AMBIENTE

Orientamento

Orientamento unico

Anno Accademico

2022/2023

Crediti

Settore Scientifico Disciplinare

MAT/05

Anno

Primo anno

Unità temporale

Secondo semestre

Ore aula

Attività formativa

Attività formative di base

Canale unico

Docente

PASQUALE CANDITO

Obiettivi

Il modulo di Analisi Matematica II si propone di fornire allo Studente quei concetti fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di più variabili reali. Le tematiche di base verranno introdotte a partire dagli analoghi concetti già studiati per le funzioni di una variabile (quali limiti, derivate, integrali, studi di funzioni elementari) per passare gradualmente ad approfondimenti mirati che permetteranno lo studio di problematiche anche complesse inerenti lo studio dei massimi e minimi per una funzione, le equazioni differenziali, il calcolo di integrali doppi e tripli, la determinazione della terna intrinseca di una curva.

L'esame di Analisi Matematica II consiste in un esame scritto e uno orale, entrambi obbligatori. Lo studente ha diritto a partecipare all'esame orale se supera la prova scritta ottenendo un punteggio di almeno 18/30. Nel caso contrario e se il punteggio conseguito non è inferiore a 14/30, sarà discrezione del docente decidere se lo studente dovrà ripetere o meno l'esame scritto. Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l'esame orale solo nell'appello nel quale è stato superato l'esame scritto o negli appelli della medesima sessione.

I possibili argomenti su cui verterà l'esame scritto sono:
1. Studio di una funzione di due variabili (8 punti)
2. Studio di un problema di Cauchy (7 punti)
3. Calcolo di un integrale multiplo (7 punti)
4. Studio di una forma differenziale (4 punti)
5. Studio di una successione/serie di funzioni (4 punti)

Nella prova scritta si valutano le capacità critiche raggiunte dallo Studente nell'inquadrare le tematiche oggetto del Corso ed il rigore metodologico delle risoluzioni proposte in risposta ai quesiti formulati. Tale prova ha la durata massima di due ore e lo Studente può fare uso di libri e manuali oltre che della calcolatrice non programmabile.
La prova orale inizia con una discussione di semplici esercizi inerenti gli argomenti e le definizioni di base trattati nella prova scritta per poi passare alle tematiche di natura più teorica richiamate nel programma del corso e si valuta la capacità dello studente di comunicare le nozioni acquisite attraverso un linguaggio scientifico adeguato, nonché la capacità di esposizione dei contenuti teorici che stanno alla base delle varie tipologie di esercizi presenti nella prova scritta.
Il voto della prova orale sarà attribuito secondo il seguente criterio di valutazione:
30 - 30 e lode: conoscenza completa, approfondita e critica degli argomenti, ottima proprietà di linguaggio, completa ed originale capacità interpretativa, piena capacità di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
26 - 29: conoscenza completa e approfondita degli argomenti, piena proprietà di linguaggio, completa ed efficace capacità interpretativa, in grado di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
24 - 25: conoscenza degli argomenti con un buon grado di apprendimento, buona proprietà di linguaggio, corretta e sicura capacità interpretativa, capacità di applicare in modo corretto la maggior parte delle conoscenze per risolvere i problemi proposti;
21 - 23: conoscenza degli argomenti, ma mancata padronanza degli stessi, soddisfacente proprietà di linguaggio, corretta capacità interpretativa, limitata capacità di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
18 - 20: conoscenza di base degli argomenti principali, conoscenza di base del linguaggio tecnico, capacità interpretativa sufficiente, capacità di applicare le conoscenze basilari acquisite in contesti elementari;
Insufficiente: non possiede una conoscenza accettabile degli argomenti trattati durante il corso.

Il voto finale dell'esame del modulo di Analisi Matematica II è uguale a quello conseguito nella prova orale nel caso in cui il voto della prova orale è maggiore di quello ottenuto nella prova scritta, nel caso contrario è dato dalla media aritmetica tra i due voti conseguiti.

Programma

I. Limiti e continuità di funzioni di più variabili che assumono valori in R o R^n. Derivate direzionali. Funzioni differenziabili. Spazio tangente. Differenziabilità e continuità. Formula del gradiente. La matrice jacobiana. La regola della catena. Derivata totale. Differenziabilità delle funzioni C^1. Teorema delle funzioni implicite in due o più variabili e con uno o più vincoli. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwartz. Teorema di Fermat. Formula di Taylor. Massimi e minimi, condizioni necessarie e sufficienti. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
II. Successioni di funzioni. Diversi tipi di convergenza. Teoremi di continuità, derivabilità. Passaggio al limite sotto il segno dell'integrale. Serie di funzioni. Diversi tipi di convergenza. Integrazione e derivazione per serie. Serie di Taylor. Serie di Fourier.
III. Equazioni differenziali. Introduzione al problema di Cauchy e ad alcuni tipi di problemi ai limiti. Esistenza e unicità per il problema di Cauchy. Dipendenza continua dai dati iniziali. Generalità delle equazioni differenziali lineari. Risoluzione di equazioni differenziali lineari del secondo ordine.
IV. Integrali multipli. Formule di riduzione, cambio di variabili e integrazione in R^2 e R^3. Coordinate polari, cilindriche e sferiche. Volume di un solido di rivoluzione. Calcolo del baricentro e del momento d'inerzia.
V. Curve e lunghezza delle curve. Vettore tangente. Integrali curvilinei del primo tipo. Forme differenziali. Campi vettoriali. Campi potenziali e conservativi. Integrali del secondo tipo. Caratterizzazione di una forma differenziale integrabile. Il lavoro di un campo conservativo.
VI. Superficie regolare: Piano tangente e vettore normale. Area di una superficie. Formula di Gauss-Green. Teorema della divergenza e formula di Stokes. Integrazione per parti.

Testi docente

TM. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill, Milano 2007.
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori Editore, Napoli 2001.
Claudio Canuto, Anita Tabacco, Mathematical Analysis II, Springer 2008.

Erogazione tradizionale

Sì

Erogazione a distanza

Frequenza obbligatoria

Valutazione prova scritta

Valutazione prova orale

Valutazione test attitudinale

Valutazione progetto

Valutazione tirocinio

Valutazione in itinere

Sì

Prova pratica