Dipartimento di Ingegneria Civile, dell'Energia, dell'Ambiente e dei Materiali - Università Mediterranea di Reggio Calabria - Didattica

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METODI E MODELLI MATEMATICI PER L'INGEGNERIA

Corso

Ingegneria Civile

Curriculum

INFRASTRUTTURE E SISTEMI DI TRASPORTO

Orientamento

Orientamento unico

Anno Accademico

2022/2023

Crediti

Settore Scientifico Disciplinare

MAT/05

Anno

Primo anno

Unità temporale

Primo semestre

Ore aula

Attività formativa

Attività formative affini ed integrative

Canale unico

Docente

PASQUALE CANDITO

Obiettivi

Il corso si propone di presentare allo Studente i principali metodi elementari per lo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali, strettamente legati alle tecniche di approssimazione numerica e utili per risolvere quantitativamente problemi di interesse ingegneristico, quali ad esempio, il metodo di Galerkin-elementi finiti per problemi di tipo ellittico e il metodo delle differenze finite per equazioni paraboliche ed iperboliche. L'obiettivo generale del corso è quello di introdurre tali tematiche partendo da semplici problemi derivanti dalle scienze applicate e seguendo un medesimo schema ricorrente: analisi matematica del problema, approssimazione numerica, analisi dei risultati.

Modalità di valutazione

Il voto della prova orale sarà attribuito secondo il seguente criterio di valutazione:
30 - 30 e lode: conoscenza completa, approfondita e critica degli argomenti, ottima proprietà di linguaggio, completa ed originale capacità interpretativa, piena capacità di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
26 - 29: conoscenza completa e approfondita degli argomenti, piena proprietà di linguaggio, completa ed efficace capacità interpretativa, in grado di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
24 - 25: conoscenza degli argomenti con un buon grado di apprendimento, buona proprietà di linguaggio, corretta e sicura capacità interpretativa, capacità di applicare in modo corretto la maggior parte delle conoscenze per risolvere i problemi proposti;
21 - 23: conoscenza degli argomenti, ma mancata padronanza degli stessi, soddisfacente proprietà di linguaggio, corretta capacità interpretativa, limitata capacità di applicare autonomamente le conoscenze per risolvere i problemi proposti;
18 - 20: conoscenza di base degli argomenti principali, conoscenza di base del linguaggio tecnico, capacità interpretativa sufficiente, capacità di applicare le conoscenze basilari acquisite in contesti elementari;
Insufficiente: non possiede una conoscenza accettabile degli argomenti trattati durante il corso.

ENGLISH VERSION

The course aims to present to the Student with the main elementary methods for the study of partial differential equations, closely related to numerical approximation techniques and useful for quantitatively solving problems of engineering interest, such as the Galerkin-finite element method for elliptic problems and the finite difference method for parabolic and hyperbolic equations. The general task of the course is to introduce these topics starting from simple problems deriving from the applied sciences and following a same recurring scheme: mathematical analysis of the problem, numerical approximation, analysis of the results.

The oral exam grade will be assigned according to the following evaluation criteria:
30 - 30 cum laude – exceptional: complete, in-depth and critical knowledge of the topics, excellent linguistic property, complete and original interpretative ability, full ability to independently apply the knowledge to solve the proposed problems;
26 – 29 - very good to satisfactory: complete and in-depth knowledge of the topics, full ownership of language, complete and effective interpretive ability, able to independently apply the knowledge to solve the proposed problem;
24 – 25 – good to adequate: knowledge of topics with a good degree of learning, good language property, correct and safe interpretive ability, ability to correctly apply most of the knowledge to solve the proposed problems;
21 – 23 - poor: knowledge of the topics, but lack of mastery of the same, satisfactory property of language, correct interpretative ability, limited ability to independently apply the knowledge to solve the proposed problems;
18 – 20 - barely adequate to minimum passing grade: basic knowledge of the main topics, basic knowledge of technical language, sufficient interpretive ability, ability to apply the basic knowledge acquired in elementary contexts;
Insufficient - rejected: the student does not have an acceptable knowledge of the topics covered during the course.

Programma

Introduzione ai metodi variazionali per lo studio delle equazioni differenziali: motivazioni, esempi. Necessità della risoluzione numerica. Spazi metrici e spazi normati. Spazi funzionali: principali esempi Concetti fondamentali. Disuguaglianze di Young, Hölder e Minkowski. Successioni in uno spazio metrico. Funzioni continue. Spazi metrici completi. Spazi di Banach.Spazi di Hilbert. Regola del parallelogramma. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Cenni alla teoria della misura e dell’integrazione secondo Lebesgue. Derivata debole.Spazi di Sobolev. Disuguaglianza di Poincaré. Disuguaglianze di traccia. (I-II CFU)
Operatori lineari. Spazi duali. Forme bilineari, problemi variazionali astratti. Teorema di Lax-Milgram. Forme bilineari simmetriche. Approssimazione e metodo di Galerkin-elementi finiti: esistenza, unicità e stabilità della soluzione discreta, convergenza. Lemma di Céa. Equazioni ellittiche. Soluzioni classiche, forti e deboli (o variazionali). Formulazione variazionale di un problema di diffusione, trasporto e reazione con condizioni al bordo di Dirichlet, di Neumann, miste e di Robin. Equazioni generali in forma di divergenza. (III-IV CFU).
Equazioni paraboliche. Formulazione debole e sua approssimazione. Stime a priori. Analisi del problema semi-discreto. Il metodo delle differenze finite per equazioni iperboliche. Analisi dei metodi alle differenze finite. Equazioni equivalenti e analisi dell’errore (V-VI CFU).

English Version

Introduction to variational methods for the study of differential equations: motivation, examples. Needs of the numerical solution. Metric and normed spaces. Basic concepts. Young’s inequality, Hölder’s inequality, Cauchy-Schwarz’s inequality, Minkowski’s inequality. Sequences in a metric space. Continuous functions. Compact metric spaces. Complete metric spaces. Banach spaces. Functional spaces: some examples.
Hilbert spaces. Parallelogram rule. Introduction to the Lebesgue measure and integration’s theory. Weak derivative. Sobolev spaces. Poincaré inequality. Inequalities trace. (I-II CFU)
Linear operators. Dual spaces. Bilinear operators, abstract variational problems. Lax-Milgram theorem. Symmetric bilinear operators. Approximation and Galerkin-finite element methods for elliptic differential equations: existence, uniqueness and stability of the discrete solution, convergence. Céa lemma.
Elliptic equations. Classical, strong and weak (or variational) solutions. Variational approach to a diffusion, transport and reaction, with Dirichlet or Neumann or mixed or Robin boundary conditions. General equations in divergence form. (III-IV CFU)
Parabolic equations. Weak formulation and its approximation. A priori estimates. Semi-discrete problem analysis. The finite difference method for hyperbolic equations. Analysis of finite difference methods. Equivalent equations and error analysis (V-VI CFU).

Testi docente

H. Brezis, Analisi Funczionale. Teoria e applicazioni, Liguori Editore 2002.
P. Cannarsa, T. D'Aprile, Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale, Springer-Verlag, Milano 2008.
S. Salsa, Equazioni a derivate parziali (Metodi, modelli e applicazioni), Springer.
A. Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali. Springer, 2008.
V. Romano, Metodi matematici per i corsi di ingegneria, Città Studi Edizioni (2018)
L. Formaggia, F. Saleri, A. Veneziani, Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali. Springer Verlag (collana Unitext), 2005.

Erogazione tradizionale

Sì

Erogazione a distanza

Frequenza obbligatoria

Valutazione prova scritta

Valutazione prova orale

Sì

Valutazione test attitudinale

Valutazione progetto

Valutazione tirocinio

Valutazione in itinere

Prova pratica