ANALISI MATEMATICA I E ANALISI MATEMATICA II

Programma dettagliato del corso

I. Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici. Estremi di un insieme numerico. Generalità sulle funzioni. Funzioni numeriche. Proprietà elementari delle funzioni. Grafico di una funzione. Operazioni sulle funzioni e trasformazione dei grafici. Funzioni elementari.

II-III. Definizione generale di limite per una funzione reale di variabile reale. Teoremi di unicità del limite, del confronto e della permanenza del segno. Teorema sui limiti di funzioni monotone. Operazioni sui limiti e forme indeterminate. Limiti notevoli. Asintoti. Infiniti e infinitesimi e loro confronto. Principio di sostituzione degli infinitesimi e degli infiniti.

Successioni numeriche. Limite di una successione. Teoremi di unicità del limite, della permanenza del segno e del confronto. Teorema ponte e non esistenza dei limiti. Calcolo dei limiti. Teorema di esistenza del limite per una successione monotona. Serie numeriche. Esempi fondamentali: la serie geometrica, di Mengoli, armonica e armonica generalizzata. Condizione necessaria per la convergenza di una seria. Serie a termini di segno costante. Criterio del confronto, della radice e del rapporto. Serie assolutamente convergenti. Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz.

IV. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Continuità delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Radici di un'equazione: metodi grafici per la ricerca. Funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato. Teorema di Weierstrass.

V-VI. Definizione di derivata e suo significato geometrico e cinematico. Retta tangente al grafico. Derivate delle funzioni elementari e regole di derivazione. Derivabilità e continuità. Massimi e minimi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange e loro interpretazione geometrica. Monotonia e derivabilità. Funzioni a derivata nulla. Punti singolari, angolosi, a tangente verticale e cuspidi. Differenziale e approssimazione lineare. Derivate successive. Teoremi di de l'Hôpital. Formula di Taylor e di McLaurin. Espressioni del resto. Approssimazione di funzioni mediante polinomi. Funzioni convesse e concave. Punti di flesso. Proprietà fondamentali. Studio del grafico di una funzione.

VII-VIII-IX. L'integrale di Riemann per funzioni di una variabile. Interpretazione geometrica. Proprietà dell'integrale definito. Teorema della media. Integrale indefinito e sue proprietà. Funzioni integrali. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi elementari per la ricerca di una primitiva: integrazione immediata, per scomposizione in somma e per sostituzione. Integrazione per parti. Ricerca di primitive per alcune classi di funzioni: razionali, trigonometriche e irrazionali. Integrali impropri. Domini illimitati. Integranda non limitata. Esempi fondamentali. Teorema del confronto. Criterio del confronto asintotico.

Ultimo aggiornamento: 19-09-2023

M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill, Milano 2007.

M. Bramanti C. D. Pagani S. Salsa, Analisi Matematica I, Zanichelli, 2009 Bologna.

J. Stewart, Calcolo Funzioni di una variabile, Maggioli Editore

Ultimo aggiornamento: 19-09-2023

Il corso si propone di fornire allo Studente i concetti fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di una variabile reale.

A tal fine, le definizioni e i principali risultati dell’analisi matematica di base, relativi ai concetti di limite, derivata ed integrale, verranno introdotti a partire dalle funzioni elementari per passare poi ad approfondimenti mirati che permetteranno lo studio di problematiche anche più complesse derivanti dalle scienze applicate.

L'obiettivo generale del corso è quello di facilitare l'Allievo nell'acquisizione di un appropriato livello di autonomia nella conoscenza teorica e nell’utilizzo degli strumenti analitici di base, di stimolare la sua capacità di riflessione, di calcolo e di comunicare le nozioni acquisite attraverso un linguaggio scientifico adeguato.

Ultimo aggiornamento: 19-09-2023

Preparazione di base fornita dalle scuole medie superiori

Ultimo aggiornamento: 19-09-2023

Il corso, al fine di raggiungere gli obiettivi formativi previsti, si svolge prevalentemente attraverso lezioni frontali. Sono inoltre previste Esercitazioni svolte dal docente ed esercitazioni guidate svolte dagli studenti, nonché simulazioni di prove scritte d’esame, con lo scopo di stimolare l’approccio ai problemi con autonomia e senso critico.

Ultimo aggiornamento: 19-09-2023

Ulteriori informazioni sono reperibili nella pagina web del dipartimento: https://www.diceam.unirc.it/

Ultimo aggiornamento: 19-09-2023

L'esame consiste in una prova scritta, seguita dalla prova orale. Durante la prova scritta si chiede di eseguire lo svolgimento completo di cinque esercizi. Gli argomenti e il livello di difficoltà degli esercizi corrispondono al programma svolto e ai testi di riferimento indicati. Il tempo assegnato per la prova scritta è di due ore. La valutazione della prova scritta è fatta in trentesimi. La prova scritta si ritiene superata se la valutazione complessiva non è inferiore a 14/30.

Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l'esame orale solo negli appelli della medesima sessione.

I possibili argomenti su cui verterà l'esame scritto sono:

1.       Calcolo di limiti e studio della continuità di una funzione che dipende da uno o più parametri (5 punti)

2.       Studio della convergenza di una serie numerica con parametro (4 punti)

3.       Calcolo di derivate e loro applicazioni (4 punti)

4.       Calcolo dell'area di una regione piana utilizzando il calcolo integrale (5 punti)

5.       Studio di una funzione definita a tratti (12 punti)

Nella prova scritta si valutano le capacità critiche raggiunte dallo Studente nell'inquadrare le tematiche oggetto del Corso ed il rigore metodologico delle risoluzioni proposte in risposta ai quesiti formulati. Tale prova ha la durata massima di due ore e lo Studente può fare uso di libri e manuali oltre che della calcolatrice non programmabile. La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti del programma del corso e si valuta la capacità dello studente di comunicare le nozioni acquisite attraverso un linguaggio scientifico adeguato, nonché la capacità di esposizione dei contenuti teorici che stanno alla base delle varie tipologie di esercizi presenti nella prova scritta.

Il voto finale dell'esame di Analisi Matematica I è uguale a quello conseguito nella prova orale nel caso in cui il voto della prova orale è maggiore di quello ottenuto nella prova scritta, nel caso contrario è dato dalla media aritmetica tra i due voti.

30-30 e lode

Conoscenza completa, approfondita e critica degli argomenti, eccellente capacità interpretativa e di applicazione autonoma delle conoscenze acquisite per la soluzione dei quesiti proposti;

29-27

Conoscenza completa e approfondita degli argomenti, ottima capacità interpretativa e di applicazione autonoma delle conoscenze acquisite per la soluzione dei quesiti proposti;

26-25

Conoscenza completa degli argomenti, buona capacità interpretativa e di applicazione autonoma delle conoscenze acquisite per la soluzione dei quesiti proposti;

24-22

Conoscenza adeguata degli argomenti, capacità interpretativa e di applicazione autonoma delle conoscenze acquisite per la soluzione dei quesiti proposti;

21-18

Conoscenza di base degli argomenti, sufficiente capacità interpretativa e di applicazione delle conoscenze acquisite per la soluzione dei quesiti proposti

Ultimo aggiornamento: 19-09-2023

Funzioni reali di più variabili reali. Elementi di topologia nel piano e nello spazio. Limite e continuità. Teoremi di esistenza degli zeri e di Weierstrass. Derivate parziali, successive, direzionali. Teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziale. Funzioni composte. Formula di Taylor del secondo ordine.

Massimi e minimi relativi, teorema di Fermat. Condizioni sufficienti per un estremo relativo. Ricerca del massimo e del minimo assoluto.

Integrale generale di un’equazione differenziale ordinaria (E.D.O.). Problema di Cauchy e ai limiti. Esistenza e unicità locale e globale. Il teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale e globale. E.D.O. a variabili separabili. Proprietà delle E.D.O. lineari. E.D.O. lineari del primo e del secondo ordine. Metodi di somiglianza e di variazione delle costanti.

Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Teoremi della continuità, della derivabilità, del passaggio al limite sotto il segno di integrale. Serie di potenze.

Integrali doppi e tripli. Integrali su domini normali. Integrale di funzioni continue. Formule di riduzione e cambiamento di variabili per gli integrali doppi e tripli. Volume di un solido di rotazione.

Elementi di calcolo vettoriale. Curve regolari. Lunghezza di una curva. Curve orientate. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Versore tangente, normale e binormale.

Forme differenziali. Campi vettoriali. Integrale di una forma differenziale Campi conservativi e potenziale. Lavoro di un campo conservativo.

Superficie regolari. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Integrali di superficie. Formule di Gauss-Green nel piano. Area di un dominio regolare. Teorema della divergenza e formula di Stokes. Formula di integrazione per parti.

Ultimo aggiornamento: 11-09-2023

C. Canuto, A. Tabacco: Analisi Matematica 2, Teoria ed esercizi, seconda edizione, Springer

Ultimo aggiornamento: 11-09-2023

Il modulo di Analisi Matematica II si propone di fornire allo Studente quei concetti fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di più variabili reali. Le tematiche di base verranno introdotte a partire dagli analoghi concetti già studiati per le funzioni di una variabile (quali limiti, derivate, integrali, studi di funzioni elementari) per passare gradualmente ad approfondimenti mirati che permetteranno lo studio di problematiche anche complesse inerenti lo studio dei massimi e minimi per una funzione, le equazioni differenziali, il calcolo di integrali doppi e tripli, la determinazione della terna intrinseca di una curva.

Ultimo aggiornamento: 11-09-2023

Nessun prerequisito.

Ultimo aggiornamento: 11-09-2023

Didattica frontale.

Su richiesta, verrà fornito agli studenti del materiale didattico (dispense, test, esercizi).

Ultimo aggiornamento: 11-09-2023

La prova d'esame consiste in una verifica scritta finale ed in una prova orale, alla quale si accede se nella verifica scritta finale si è conseguito almeno un punteggio minimo predeterminato (15/30). Il superamento di eventuali prove scritte e/o orali in itinere esonera lo Studente dal sostenere, nella verifica finale, la parte sui cui è stato già valutato.

La prova scritta comprende quattro quesiti a risposta multipla. Lo studente dovrà scegliere tra le varie opzioni di risposta quella che ritiene corretta e motivare la scelta.

Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l'esame orale, che si svolgerà subito dopo la prova scritta.

Ultimo aggiornamento: 11-09-2023