Dipartimento di Ingegneria Civile, dell'Energia, dell'Ambiente e dei Materiali - Università Mediterranea di Reggio Calabria - Didattica

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ANALISI MATEMATICA

Corso

Ingegneria Industriale

Curriculum

Curriculum unico

Orientamento

Orientamento unico

Anno Accademico

2017/2018

Crediti

Settore Scientifico Disciplinare

MAT/05

Anno

Primo anno

Unità temporale

Secondo semestre

Ore aula

120

Attività formativa

Attività formative di base

Canale unico

Docente

ROBERTO LIVREA

Obiettivi

Il corso si propone di fornire allo Studente quei concetti fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di una o più variabili reali. Le tematiche di base verrano introdotte a partire dagli elementi più elementari dell'Analisi Matematica (quali limiti, derivate, integrali, studi di funzioni elementari) per passare gradualmente ad approfondimenti mirati che permetteranno lo studio di problematiche anche complesse inerenti la teoria dell'ottimizzazione per funzioni anche di più variabili, le equazioni differenziali ed il calcolo integrale. Il tutto con l'obiettivo generale di rendere l'Allievo autonomo nella comprensione, trattazione e modellizzazione dei problemi derivanti dalle scienze applicate, con particolare attenzione a quelli correlati all'Ingegneria Industriale, che si potranno incontrare nei corsi successivi e nella professione.

Programma

I. Elementi di teoria degli insiemi. Insiemi numerici. Estremi di un insieme numerico. Generalità sulle funzioni. Funzioni numeriche. Proprietà elementari delle funzioni. Grafico di una funzione. Operazioni sulle funzioni e trasformazione dei grafici. Funzioni elementari.

II-III. Definizione di limite di funzioni reali di variabile reale. Teoremi di unicità del limite, del confronto e della permanenza del segno. Teorema sui limiti di funzioni monotone. Operazioni sui limiti e forme indeterminate. Limiti notevoli. Asintoti. Infiniti e infinitesimi e loro confronto. Principio di sostituzione degli infinitesimi e degli infiniti.
Successioni numeriche. Limite di una successione. Teoremi di unicità del limite, della permanenza del segno e del confronto. Teorema ponte e non esistenza dei limiti. Calcolo dei limiti. Teorema di esistenza del limite per una successione monotona. Serie numeriche. Esempi fondamentali: la serie geometrica, di Mengoli, armonica e armonica generalizzata. Condizione necessaria per la convergenza di una seria. Serie a termini di segno costante. Criterio del confronto, della radice e del rapporto. Serie assolutamente convergenti. Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz.

IV. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Continuità delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Radici di unequazione: metodi grafici per la ricerca. Funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato. Teorema di Weierstrass.

V-VI. Definizione di derivata e suo significato geometrico e cinematico. Retta tangente al grafico. Derivate delle funzioni elementari e regole di derivazione. Derivabilità e continuità. Massimi e minimi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange e loro interpretazione geometrica. Monotonia e derivabilità. Funzioni a derivata nulla. Punti singolari, angolosi, a tangente verticale e cuspidi. Differenziale e approssimazione lineare. Derivate successive. Teoremi di de l'Hôpital. Formula di Taylor e di McLaurin. Espressioni del resto. Approssimazione di funzioni mediante polinomi. Funzioni convesse e concave. Punti di flesso. Proprietà fondamentali. Funzioni lipschitziane. Studio del grafico di una funzione.

VII-VIII. L'integrale di Riemann per funzioni di una variabile. Interpretazione geometrica. Proprietà dell'integrale definito. Teorema della media. Integrale indefinito e sue proprietà. Funzioni integrali. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi elementari per la ricerca di una primitiva: integrazione immediata, per scomposizione in somma e per sostituzione. Integrazione per parti. Ricerca di primitive per alcune classi di funzioni: razionali, trigonometriche e irrazionali. Integrali impropri. Domini illimitati. Integranda non limitata. Esempi fondamentali. Teorema del confronto. Criterio del confronto asintotico.

IX. Funzioni reali di più variabili reali. Elementi di topologia nel piano e nello spazio. Limite e continuità. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass. Derivate parziali. Derivate successive. Teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziale. Funzioni composte. Derivate direzionali. Formula di Taylor del secondo ordine.

X. Teoria dell'ottimizzazione. Massimi e minimi relativi, teorema di Fermat. Condizioni sufficienti per un estremo relativo. Ricerca del massimo e del minimo assoluto. Funzioni implicite. Teorema del Dini. Retta tangente a una curva piana. Ottimizzazione vincolata e programmazione matematica. Modelli di ricerca operativa.

XI. Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Teoremi della continuità, della derivabilità e del passaggio al limite sotto il segno di integrale. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme e totale. Integrazione e derivazione per serie. Serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier.

XII. Integrale generale di un’equazione differenziale. Problema di Cauchy e ai limiti. Esistenza e unicità locale e globale. Il teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale e globale. Dipendenza continua dai dati iniziali. Proprietà generali delle equazioni differenziali lineari. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Metodo di somiglianza. Metodo di variazione delle costanti.

XIII. Integrali doppi e tripli. Integrali su domini normali. Integrale di funzioni continue. Volume del cilindroide. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli. Formule di riduzione per gli integrali tripli. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Volume di un solido di rotazione. Primo Teorema di Guldino. Calcolo di baricentri e momenti d’inerzia.

XIV. Elementi di calcolo vettoriale. Curve regolari. Lunghezza di una curva. Curve orientate. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Integrale di una forma differenziale. Forme differenziali. Campi vettoriali. Campi conservativi e potenziale. Lavoro di un campo conservativo. Linguaggio delle forme differenziali.

XV. Superficie regolari. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Integrali di superficie. Secondo teorema di Guldino. Formula di Gauss-Green nel piano. Calcolo dell’area di un dominio regolare. Area del settore polare. Teorema della divergenza e formula di Stokes. Formula di integrazione per parti.

Testi docente

Risorse e bibliografia essenziale

• M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill, Milano 2007.
• M. Bramanti C. D. Pagani S. Salsa, Analisi Matematica I e II, Zanichelli, 2009 Bologna
• N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori Editore, Napoli 2001.
• Claudio Canuto, Anita Tabacco, Mathematical Analysis II, Springer 2008.
• Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis II, Springer 2008.

Approfondimenti
• C. D. Pagani S. Salsa, Analisi Matematica, vol. I e II Masson, 1993 Milano.
• N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore, Napoli 1996.

Erogazione tradizionale

Sì

Erogazione a distanza

Frequenza obbligatoria

Valutazione prova scritta

Sì

Valutazione prova orale

Sì

Valutazione test attitudinale

Valutazione progetto

Valutazione tirocinio

Valutazione in itinere